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Comment peut-on, étant donné un nombre \(N\) donné dans une certaine base, trouver sa représentation dans une autre base \(b\) ? Répondre à cette question revient à calculer les valeurs \(d_i\) de l’équation \([1]\) dans la base \(b\).

Cas des nombres entiers

Nous allons commencer par supposer que \(N\) est un nombre entier positif. Observons d’abord que si \(N<b\), on exprime le nombre à l’aide du chiffre correspondant dans la nouvelle base1. Autrement, divisons \(N\) par \(b\) (il s’agit de la division entière), ce qui nous donne un quotient \(q_0=N\div b\) et un reste \(r_0=N\mod b\). La relation existant entre ces valeurs est:

\[\begin{aligned} N&= q_0\times b +r_0.&[2]\end{aligned}\]

Comme nous avons supposé que \(N\geq b\), nous savons que \(q_0\neq0\). Recommençons l’opération en divisant \(q_0\) par \(b\); nous obtenons à nouveau un quotient que nous appelons \(q_1\) et un reste que nous appelons \(r_1\). Nous avons donc la relation:

\[\begin{aligned} q_0&= q_1\times b+r_1,\end{aligned}\]

En combinant cette équation avec \([2]\), nous obtenons:

\[\begin{aligned} N&= (q_1\times b+r_1)\times b+r_0\\ &= q_1\times b^2+r_1\times b+r_0. \end{aligned}\]

Si \(q_1>0\), on recommence en divisant \(q_1\) par \(b\), pour obtenir un nouveau quotient \(q_2\) et un nouveau reste \(r_2\) tels que:

\[\begin{aligned} N&= (q_2\times b+r_2)\times b^2+r_1\times b+r_0\\ &= (q_2\times b^3)+r_2\times b^2+r_1\times b+r_0.\end{aligned}\]

Si nous continuons ce développement en réalisant \(k+1\) divisions, nous obtenons une suite de restes \(r_0\), \(r_1\),…\(r_k\) tels que:

\[\begin{aligned} N &= (q_k\times b^{k+1})+r_k\times b^k+\cdots+r_2\times b^2+r_1\times b+r_0.\\\end{aligned}\]

Supposons que nous avons continué ce développement jusqu’à ce que \(q_k=0\) (ce qui finira toujours par arriver étant donné qu’on est parti d’un \(N\) fixé). On a alors:

\[\begin{aligned} N &=(q_k\times b^{k+1})+r_k\times b^k+\cdots+r_2\times b^2+r_1\times b+r_0\\ &=(q_k\times b^{k+1})+r_k\times b^k+\cdots+r_2\times b^2+r_1\times b^1+r_0\times b^0\\ &=(q_k\times b^{k+1})+\sum_{i=0}^{k}r_i\times b^i \\ &=(0\times b^{k+1})+\sum_{i=0}^{k}r_i\times b^i \\ &=\sum_{i=0}^{k}r_i\times b^i.&[3]\end{aligned}\]

On peut maintenant comparer cette dernière équation \([3]\) à l’équation \([1]\), et constater que les restes \(r_i\) que nous avons calculés en effectuant des divisions successives par \(b\) correspondent aux \(d_i\) que nous cherchons pour représenter le nombre \(N\) en base \(b\). Attention tout de même que le premier reste calculé (\(r_0\)) est le chiffre de poids faible ! Pour résumer:

Note :

Pour exprimer un nombre \(N\) en base \(b\), on divise \(N\) par \(b\) de manière répétée. La séquence des restes calculés donne la représentation de \(N\) en base \(b\) du chiffre de poids faible au chiffre de poids fort (autrement dit: “à l’envers”).

\(\square\)


  1. Par exemple, \(10_{10}\) est exprimé par \(\mathtt{a}\) en base \(16\)