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Nous pouvons maintenant généraliser ce principe aux nombres réels1. Commençons par observer qu’un nombre rationnel qui possède une expression finie dans une base ne possède pas forcément une expression finie dans toutes les bases. Prenons par exemple le nombre \(\frac{1}{3}\). Nous savons qu’il n’est possible de l’exprimer de manière finie en base \(10\), mais bien de manière infinie périodique:

\[\frac{1}{3}=0,3333_{10}\ldots\]

Nous notons cette représentation infinie périodique en soulignant la partie qui se répète infiniment souvent:

\[\frac{1}{3}=0,\underline{3}.\]

Par contre, comme \(\frac{1}{3}=3^{-1}\), on peut exprimer \(\frac{1}{3}\) de manière finie en base \(3\):

\[\frac{1}{3}=0,1_{3}.\]

Voyons maintenant comment représenter un nombre \(N<1\) dans une base \(b\) arbitraire. Notons que nous supposons que \(N<1\) car on peut traiter séparément la partie entière et la partie fractionnelle d’un nombre. Pour exprimer \(N\) en base \(b\), nous allons procéder par multiplication successive par \(b\). Supposons que \(N\) est de la forme:

\[\begin{aligned} N &= 0,\alpha_0\end{aligned}\]

\(\alpha_0\) représente la séquence de chiffres de la partie fractionnaire du nombre. En multipliant \(N\) par \(b\) on obtient un nouveau nombre de la forme:

\[\begin{aligned} N\times b &= \beta_1,\alpha_1\end{aligned}\]

\(\beta_1\) est la partie entière, et \(\alpha_1\) la partie décimale. Comme nous avons supposé que \(N<1\), nous savons que \(0\leq \beta_1 \leq b-1\). Considérons le nouveau nombre \(0,\alpha_1\), et appelons-le \(N_1\). Nous avons donc :

\[\begin{aligned} N_1 &= 0,\alpha_1\\ N &= \frac{\beta_1}{b} + \frac{N_1}{b}.& [4]\end{aligned}\]

Multiplions maintenant \(N_1\) par \(b\), nous obtenons un nombre de la forme:

\[\begin{aligned} N_1\times b &= \beta_2,\alpha_2 \end{aligned}\]

avec \(0\leq \beta_2 \leq b-1\). Nous pouvons à nouveau poser \(N_2\) et obtenir:

\[\begin{aligned} N_2 &= 0,\alpha_2\\ N_1 &= \frac{\beta_2}{b} + \frac{N_2}{b}.& [5]\end{aligned}\]

En combinant \([5]\) et \([4]\), nous obtenons:

\[\begin{aligned} N &= \frac{\beta_1}{b} + \frac{\frac{\beta_2}{b} + \frac{N_2}{b}}{b}\\ &= \frac{\beta_1}{b} +\frac{\beta_2}{b^2} + \frac{N_2}{b^2}\\ &= \beta_1\times b^{-1} + \beta_2\times b^{-2} + N_2\times b^{-2}.\end{aligned}\]

Nous pouvons continuer ce développement, en multipliant successivement tous les \(N_i=0,\alpha_i\) par \(b\), pour obtenir un suite aussi longue que souhaitée de \(\beta_i\) tels que:

\[\begin{aligned} N &= \beta_1\times b^{-1} + \beta_2\times b^{-2} +\cdots \beta_k\times b^{-k} + N_k\times b^{-k}\\ &=\sum_{i=1}^{k} \beta_i b^{-i}+ N_k\times b^{-k}& [6].\end{aligned}\]

En comparant \([6]\) et \([1]\), on voit que la séquence des \(\beta_i\) ainsi calculée correspond à la séquence des \(d_{-i}\) nécessaires pour exprimer \(N\) en base \(b\). Ce développement sera arrêté soit lorsque \(N_i=0\), soit dès qu’on détecte deux valeurs \(N_j\), \(N_i\) (\(i\neq j\)) telles que \(N_j=N_i\), ce qui signifie que l’expression de \(N\) en base \(b\) est infinie périodique.

Exemple :

Considérons \(N=-24,42_{10}\) à exprimer en base \(2\). Nous allons commencer par exprimer \(24\) en base \(2\), en divisant successivement \(24\) par \(2\). On commence par \(24/2=12\) avec un reste de \(0\). Autrement dit \(q_0=12\) et \(r_0=0\). On poursuit en divisant \(q_0\) par \(2\), etc:

\(i\) \(q_i\) \(r_i\)
0 12 0
1 6 0
2 3 0
3 1 1
4 0 1

On lit maintenant la séquence des restes de haut en bas, en on obtient: \(24_{10} = 11000_2\).

Pour la partie fractionnaire, on procède par multiplication successive par \(2\). On commence par \(0,42\times 2=0,84\). Autrement dit, \(\beta_1=0\) et \(N_1=0,84\). On multiplie à nouveau \(N_1\) par \(2\), soit \(2\times 0,84= 1,68\). On obtient donc:

\(i\) \(\beta_i\) \(N_i\)
1 0 0,84
2 1 0,68
3 1 0,36
4 0 0,72
5 1 0,44
6 0 0,88
7 1 0,76
8 1 0,52
9 1 0,04
10 0 0,08
11 0 0,16
12 0 0,32
13 0 0,64
14 1 0,28
15 0 0,56
16 1 0,12
17 0 0,24
18 0 0,48
19 0 0,96
20 1 0,92
21 1 0,84

On voit donc que \(N_{21}=N_1\), la suite du développement se poursuivra donc ad infinitum de manière cyclique. Donc:

\[0,42_{10}=0,0\underline{110\ 1011\ 1000\ 0101\ 0011}_2\]

et finalement:

\[-24,42_{10} = - 1\ 1000, 0\underline{110\ 1011\ 1000\ 0101\ 0011}_2.\]

\(\blacksquare\)


  1. En pratique, sur un ordinateur, nous ne pourrons représenter et manipuler de manière précise que les nombres qui possèdent une représentation finie en base \(2\), ce qui exclut d’office tous les nombres irrationnels, comme \(\pi\) ou \(\sqrt{2}\), par exemple. Mais cela n’empêche que même les nombres irrationnels possèdent aussi une représentation (infinie non-périodique) dans d’autres bases que la base \(10\)